ישרים ב - $R^2$

• הצגה פרמטרית:
  • של ישר עם כיוון $\overrightarrow{v}$ שעובר בנק' $A(x_0,y_0)$ היא: {A + t * v | t $\in$ R}
  • ניתן גם להציג בצורה מפורשת על ידי: {$(X_0+t\ast a,y_0+t\ast b)|t\in R$}
• הצגה אלגברית:
  • עבור הישר העובר בכל הנקודות (x,y) ניתן להציג כ:
    • $$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\ast a\\ y=y_0+t\ast b\end{array}$$
    \begin{cases} \frac{x - x_0}{a} = t \ \frac{y - y_0}{b} = t \end{cases}$$
  • לדוגמא:
    • הישר שעובר בנק' (2, 1) עם כיוון (3, 1-) מתואר על ידי המשוואה:
      • $\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{3}\to y=5-3X$
  • ניתן להציג בצורה נוספת אם יש לנו ישר שעובר בנק' $A(x_0,y_0)$ ויש לנו נורמל לישר $\overrightarrow{n}=(c,d)$ (הכוונה שהוא מאונך לכיוון של הישר) אז נסמן:
    • c * X + d * Y = const
    • לחילופין: $c\ast (x-x_0)+d(y-y_0)=0$

ישרים ב - $R^3$

• הצגה פרמטרית:

  • עבור ישר שעובר בנק' $A(x_0,y_0,z_0)$ וכיוון $\overrightarrow{V}=(a,b,c)$ היא:
    • {$x_0,y_0,z_0+t\ast (a,b,c)|t\in R$}
  • בצורה מפורשת: {$(x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc)|t\in R$}

• הצגה אלגברית:

  • הישר מורכב מכל הנק' (x,y,z) מהצורה:
    • $$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\ast a\\ y=y_0+t\ast b\\ z=z_0+t\ast c\end{array}$$
    \begin{cases} \frac{x - x_0}{a} = t \ \frac{y - y_0}{b} = t \ \frac{z - z_0}{c} = t\end{cases}$$
    • נקבל מערכת של שתי משוואות: $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

מישורים ב - $R^3$:

• הצגה פרמטרית:
  • ניתן להציג בצורה מפורשת את כל הנק' במישור באמצעות שני פרמטרים בצורה:
    • {$A+t\ast \overrightarrow{v}+s\ast \overrightarrow{u}|t,s\in R$}
• הצגה אלגברית:
  • נרצה למצוא נורמל למישור. כלומר, וקטור שמאונך ל- $\overrightarrow{u}$ ול - $\overrightarrow{v}$
  • נוכל להציג את החישוב גם כ - $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{v}X\overrightarrow{u}$
  • לאחר שמצאנו נורמל $\overrightarrow{n}=(a,b,c)$ אז משוואת המישור תהיה:
    • ax + by + cz = const
  • דרך נוספת היא לשאול מי הנקודות M(x,y,z) הנמצאות על המישור כך ש:
    • הנק' M נמצאת על המישור אם"ם $\overrightarrow{AM}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ מאונך לנורמל.
    • נקבל את המשוואה $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)$

קשרים / מצבים בין ישרים, נקודות, מרחבים, וזוויות:

• היטל של וקטור על וקטור:

  • ההיטל של וקטור $\overrightarrow{u}$ על וקטור $\overrightarrow{v}$ הוא מהצורה $t\ast \overrightarrow{v}$ עבור t כלשהוא.
  • כדי למצוא את t:
    • נרצה: $(\overrightarrow{u}-t\ast \overrightarrow{v}),\overrightarrow{v}$ מאונכים. כלומר שהמכפלה הסקלארית תהיה אפס.
    • תוצאת המכפלה תהיה: $t=\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}$
  • ההיטל יהיה נתון על ידי: $\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}\cdot \overrightarrow{v}$
  • אורך ההיטל של $\overrightarrow{u}$ על $\overrightarrow{v}$ הוא : $\parallel \frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}\cdot \overrightarrow{v}\parallel$ אשר ניתן גם להציג כ: $\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\parallel \overrightarrow{v}\parallel }$
  • אורך ההיטל נקרא לפעמים ההטלה.

• חישוב מרחקים:

  • מרחק בין שתי נקודות ($R^2,R^3$):

    • עבור שתי נקודות A,B המרחק יהיה: $\parallel \overrightarrow{AB}\parallel =\sqrt{(x_b-x_a{)}^2+(y_b-y_a{)}^2}$

  • מרחק בין נקודה ומישור:

    • נתונה הנקודה $M(x_0,y_0,z_0)$, ונתון מישור שעבור בנקודה A כלשהיא ובעל וקטור נורמל.
    • את המרחק בין M למישור נוכל למצוא באמצעות אורך ההיטל של $\overrightarrow{AM}$ על הנורמל.
    • הנוסחא היא: $\frac{|\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}|}{\parallel \overrightarrow{n}\parallel }$

  • מרחק בין נקודה לישר ב - $R^3$:

    • נתונה M, ונתונה A עם וקטור כיוון v.
    • 
    • נוכל לראות שנוצרה מקבילית, אשר בה אנחנו מעוניינים בגובה. נזכור שאנחנו יכולים לחשב את שטח המקבילית באמצעות מכפלה וקטורית.
    • נקבל שהגובה (המרחק הרצוי) הוא: $\frac{\parallel \overrightarrow{am}\times \overrightarrow{v}\parallel }{\parallel \overrightarrow{v}\parallel }$

  • מרחק בין נקודה לישר ב - $:R^2$

    • באופן דומה ל $R^3$, גם כאן נוצרת לנו מקבילית, ולכן ניתן לחשב את המרחק על ידי: $\frac{|det(\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{v}\\ \overrightarrow{AM}\end{array}\right))|}{\parallel \overrightarrow{v}\parallel }$
    • דרך נוספת לחישוב באמצעות אותה נוסחא של מרחק ישר ומישור, רק שכאן A אינה נקודה על מישור אלא הישר.

  • מצבים בין ישרים ב$R^2$ ו-$R^3$:

    • בין ישרים ב - $R^2$ ישנם 3 מצבים: מתלכדים, נחתכים, מקבילים. ב - $R^3$ מצטרף מצב רביעי - מצטלבים.
    • המצב בין ישרים נקבע על ידי וקטורי הכיוון:
      • אם וקטורי הכיוון קו-לינארים הם מתלכדים או מקבילים.
      • אם וקטורי הכיוון אינם קו-לינארים הם נחתכים או מצטלבים.
    • אם הישרים מקבילים - המרחק ביניהם יהיה שווה למרחק בין נקודה וישר.
    • אם הישרים נחתכים - הזווית ביניהם תהיה הזווית החדה בין וקטורי הכיוון.
      • ערך מוחלט במונה בעת חישוב הזווית יתן את הזווית החדה אוטומטית.

  • זווית בין מישורים:

    • בהינתן $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ נורמלים של המישורים.
    • אם הנורמלים קו-לינארים אז המישורים מקבילים / מתלכדים.
    • אם הנורמלים אינם קו-לינארים, הזווית בין המישורים היא המשלימה של הזווית שנוצרת בין שני הנורמלים.